Precálculo Ejemplos

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Step 1

La ecuación para obtener el ángulo entre dos vectores $θ$ establece que el producto escalar de los dos vectores es igual al producto de las magnitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos.

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

Step 2

Resuelve la ecuación en $θ$ .

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

Step 3

Obtén el producto escalar de los vectores.

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Para obtener el producto escalar, obtén la suma de los productos de los componentes correspondientes de los vectores.

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

Sustituye los componentes de los vectores en la expresión.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Simplifica.

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Elimina los paréntesis.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Simplifica cada término.

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Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 \cdot 9$

Multiplica $2$ por $9$ .

$2 + 18$

Suma $2$ y $18$ .

$20$

Step 4

Obtén la magnitud de $u$ .

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Para obtener la magnitud del vector, obtén la raíz cuadrada de la suma de los componentes del vector al cuadrado.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Sustituye los componentes del vector en la expresión.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Simplifica.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Suma $1$ y $4$ .

$\sqrt{5}$

Step 5

Obtén la magnitud de $v$ .

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Para obtener la magnitud del vector, obtén la raíz cuadrada de la suma de los componentes del vector al cuadrado.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Sustituye los componentes del vector en la expresión.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Simplifica.

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Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Suma $4$ y $81$ .

$\sqrt{85}$

Step 6

Sustituye los valores en la ecuación para el ángulo entre los vectores.

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

Step 7

Simplifica.

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Simplifica el denominador.

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Multiplica $5$ por $85$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $425$ como $5^{2} \cdot 17$ .

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Factoriza $25$ de $425$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Retira los términos de abajo del radical.

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Factoriza $5$ de $20$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $5$ de $5 \sqrt{17}$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Cancela el factor común.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Reescribe la expresión.

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{4}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Suma $1$ y $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Reescribe la expresión.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Evalúa el exponente.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Evalúa $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$0.24497866$