Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (x + 4) + \log_{3} (x - 4) = 2$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x + 4) (x - 4)) = 2$

Expande $(x + 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 2$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 2$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 2$

Simplifica los términos.

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Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Reordena los factores en los términos $x \cdot - 4$ y $4 x$ .

$\log_{3} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 2$

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$\log_{3} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 2$

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log_{3} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 2$

Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 2$

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\log_{3} (x^{2} - 16) = 2$

Step 2

Reescribe $\log_{3} (x^{2} - 16) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 16$

Step 3

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $x^{2} - 16 = 3^{2}$ .

$x^{2} - 16 = 3^{2}$

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 16 = 9$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 9 + 16$

Suma $9$ y $16$ .

$x^{2} = 25$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Step 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (x + 4) + \log_{3} (x - 4) = 2$ sea verdadera.

$x = 5$