Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 1$

Step 1

Obtener la segunda derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 24 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 + 0$

Suma $6 x^{2} - 24$ y $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Obtener la segunda derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Suma $12 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x$ .

$12 x$

Step 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x = 0$ .

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Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x = 0$

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ y simplifica.

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Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $12$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $12$ .

$x = 0$

Step 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Sustituye $0$ en $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 - 1$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 1$

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 1$

Multiplica $- 24$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Simplifica mediante suma y resta.

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Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1$

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 1$ es $(0, - 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, - 1)$

Step 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 12 (- 0.1)$

Simplifica el resultado.

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Multiplica $12$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.2$

La respuesta final es $- 1.2$ .

$- 1.2$

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 1.2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 12 (0.1)$

Simplifica el resultado.

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Multiplica $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 1.2$

La respuesta final es $1.2$ .

$1.2$

En $0.1$ , la segunda derivada es $1.2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Step 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, - 1)$ .

$(0, - 1)$

Step 8