Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Step 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Step 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

Combinar.

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Cancela el factor común de $2^{n + 1}$ y $2^{n}$ .

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Factoriza $2^{n}$ de $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2^{n}$ de $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

Cancela el factor común de $3^{n}$ y $3^{n + 1}$ .

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Factoriza $3^{n + 1}$ de $2 \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

Divide $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ por $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

Resta $n$ de $n$ .

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

Resta $1$ de $0$ .

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$r = \frac{2}{3}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Sustituye $1$ por $n$ en $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ .

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

Simplifica.

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Evalúa el exponente.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Evalúa el exponente.

$a = \frac{2}{3}$

Step 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Step 6

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Simplifica el denominador.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Cancela el factor común de $3$ .

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Factoriza $3$ de $1 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Reescribe la expresión.

$2$