Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 3}^{7} 2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Simplifica.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Cancela el factor común de ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ y ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

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Factoriza ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ de ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Divide ${(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i - - 1}$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i + 1}$

Suma $i$ y $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i + 1}$

Resta $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Simplifica.

$r = \frac{2}{3}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Sustituye $3$ por $i$ en $2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{3 - 1}$

Simplifica.

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Resta $1$ de $3$ .

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 2 \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a = 2 \frac{4}{3^{2}}$

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$a = 2 (\frac{4}{9})$

Multiplica $2 (\frac{4}{9})$ .

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Combina $2$ y $\frac{4}{9}$ .

$a = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Multiplica $2$ por $4$ .

$a = \frac{8}{9}$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$

Paso 5

Simplifica.

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Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Multiplica $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{9} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}})$

Combinar.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{2^{5}}{3^{5}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2^{5}}{3^{5}}$ al numerador.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Factoriza $3$ de $3^{5}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 2^{5}}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{81}{81}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot \frac{81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Combina $3$ y $\frac{81}{81}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $81$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{243 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Resta $32$ de $243$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Simplifica el denominador.

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Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 - 2}$

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{1}$

Divide $\frac{211}{81}$ por $1$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$

Multiplica $\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$ .

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Multiplica $\frac{8}{9}$ por $\frac{211}{81}$ .

$\frac{8 \cdot 211}{9 \cdot 81}$

Multiplica $8$ por $211$ .

$\frac{1688}{9 \cdot 81}$

Multiplica $9$ por $81$ .

$\frac{1688}{729}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1688}{729}$

Forma decimal:

$2.31550068 \dots$

Forma de número mixto:

$2 \frac{230}{729}$