Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

Step 1

Simplifica la suma.

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Aplica la propiedad distributiva.

$n (4 n) + n \cdot 3$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

Mueve $3$ a la izquierda de $n$ .

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Mueve $n$ .

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

Multiplica $n$ por $n$ .

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

Reescribe la suma.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

Step 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

Step 3

Evalúa $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ .

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La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Suma $50$ y $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Combina exponentes.

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Multiplica $50$ por $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Multiplica $2$ por $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Suma $100$ y $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Simplifica los términos.

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Multiplica $2550$ por $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{257550}{3})$

Combina $2$ y $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Divide $515100$ por $3$ .

$171700$

Step 4

Evalúa $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

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La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Simplifica.

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Suma $50$ y $1$ .

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Multiplica $50$ por $51$ .

$3 (\frac{2550}{2})$

Divide $2550$ por $2$ .

$3 \cdot 1275$

Multiplica $3$ por $1275$ .

$3825$

Step 5

Suma los resultados de las sumas.

$171700 + 3825$

Step 6

Suma $171700$ y $3825$ .

$175525$