Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} 5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Step 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Step 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Simplifica.

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Cancela el factor común de $5$ .

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Cancela el factor común.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Cancela el factor común de ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ y ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ .

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Factoriza ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ de ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Divide ${(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - (n - 1)}$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n - - 1}$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n + 1}$

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{0 + 1}$

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{1}$

Simplifica.

$r = \frac{3}{4}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Sustituye $1$ por $n$ en $5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{1 - 1}$

Simplifica.

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Resta $1$ de $1$ .

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{0}$

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{4^{0}}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Cancela el factor común de $1$ .

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Cancela el factor común.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Reescribe la expresión.

$a = 5 \cdot 1$

Multiplica $5$ por $1$ .

$a = 5$

Step 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{5}{1 - \frac{3}{4}}$

Step 6

Simplifica.

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Simplifica el denominador.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{5}{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{\frac{4 - 3}{4}}$

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{5}{\frac{1}{4}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$5 \cdot 4$

Multiplica $5$ por $4$ .

$20$