Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{6^{n}}$

Step 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Step 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Combina $\frac{1}{6^{n + 1}}$ y $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Cancela el factor común de $6^{n}$ y $6^{n + 1}$ .

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Factoriza $6^{n + 1}$ de $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Divide $6^{n - (n + 1)}$ por $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Resta $n$ de $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Resta $1$ de $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Sustituye $0$ por $n$ en $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Simplifica.

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Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Divide $1$ por $1$ .

$a = 1$

Step 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{6}}$

Step 6

Simplifica.

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Simplifica el denominador.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{6 - 1}{6}}$

Resta $1$ de $6$ .

$\frac{1}{\frac{5}{6}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{6}{5})$

Multiplica $\frac{6}{5}$ por $1$ .

$\frac{6}{5}$

Step 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{6}{5}$

Forma decimal:

$1.2$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{5}$