Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

Obtén la primera derivada.

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Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x - 7}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

Reescribe $\frac{1}{x - 7}$ como ${(x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 7$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Diferencia.

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Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

Simplifica la expresión.

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Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

Simplifica.

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Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

Combina los términos.

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Combina $- 3$ y $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Establece el numerador igual a cero.

$3 = 0$

Como $3 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Step 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Step 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Establece el denominador en $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 7)}^{2} = 0$

Resuelve $x$

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Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Step 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 7)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica el denominador.

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Resta $7$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

Simplifica la expresión.

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Divide $3$ por $1$ .

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (6) = - 3$

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

En $x = 6$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 7)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 7)$ desde $f' (x) < 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(7, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica el denominador.

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Resta $7$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

Simplifica la expresión.

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Divide $3$ por $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (8) = - 3$

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

En $x = 8$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(7, \infty)$ .

Decrecimiento en $(7, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Step 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9