Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

Obtén la primera derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Multiplica $2$ por $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 52$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 52$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Suma $- 3 x^{2} + 18 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 18 x$ .

$- 3 x^{2} + 18 x$

Step 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{2} + 18 x$ .

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Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

Factoriza $- 3 x$ de $18 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ .

$- 3 x (x - 6) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 x (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6$

Step 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 6$ .

$0, 6$

Step 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 18 (- 1)$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 18 (- 1)$

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 18 (- 1)$

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 18$

Resta $18$ de $- 3$ .

$f' (- 1) = - 21$

La respuesta final es $- 21$ .

$- 21$

En $x = - 1$ la derivada es $- 21$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3)$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3)$

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$f' (3) = - 27 + 18 (3)$

Multiplica $18$ por $3$ .

$f' (3) = - 27 + 54$

Suma $- 27$ y $54$ .

$f' (3) = 27$

La respuesta final es $27$ .

$27$

En $x = 3$ la derivada es $27$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 6)$ .

Incremento en $(0, 6)$ ya que $f' (x) > 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = - 3 {(7)}^{2} + 18 (7)$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = - 3 \cdot 49 + 18 (7)$

Multiplica $- 3$ por $49$ .

$f' (7) = - 147 + 18 (7)$

Multiplica $18$ por $7$ .

$f' (7) = - 147 + 126$

Suma $- 147$ y $126$ .

$f' (7) = - 21$

La respuesta final es $- 21$ .

$- 21$

En $x = 7$ la derivada es $- 21$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(6, \infty)$ .

Decrecimiento en $(6, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Step 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 6)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Step 9