Cálculo Ejemplos

$e^{7 x}$

Step 1

Escribe $e^{7 x}$ como una función.

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

Diferencia.

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Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{7 x}$ .

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $7 e^{7 x}$ .

$7 e^{7 x}$

Step 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $7 e^{7 x} = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$7 e^{7 x} = 0$

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

No hay soluciones para $7 e^{7 x} = 0$

No hay solución

Step 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Step 5

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = 7 e^{7 x}$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = e^{7 x}$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Step 6

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = 7 e^{7 x}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

Simplifica el resultado.

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Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (1) = 7 e^{7}$

La respuesta final es $7 e^{7}$ .

$7 e^{7}$

Step 7

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = 7 e^{7 x}$ es $7 e^{7}$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $7 e^{7 x} > 0$

Step 8

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

Siempre creciente

Step 9