Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} - 6 x$

Step 1

Escribe $3 x^{2} - 6 x$ como una función.

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Step 2

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Step 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x - 6 = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 6$

Divide cada término en $6 x = 6$ por $6$ y simplifica.

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Divide cada término en $6 x = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $6$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $6$ por $6$ .

$x = 1$

Step 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1$ .

$1$

Step 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 6 x - 6$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 6 (0) - 6$

Simplifica el resultado.

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Multiplica $6$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Resta $6$ de $0$ .

$f' (0) = - 6$

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

En $x = 0$ la derivada es $- 6$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 6 (2) - 6$

Simplifica el resultado.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$f' (2) = 12 - 6$

Resta $6$ de $12$ .

$f' (2) = 6$

La respuesta final es $6$ .

$6$

En $x = 2$ la derivada es $6$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Step 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 1)$

Step 9