Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{3 x - 7}$

Step 1

Obtén la primera derivada.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 7}$ como ${(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 x - 7$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combina fracciones.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Mueve ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + 0)$

Combina fracciones.

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Suma $3$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

Combina $\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ y $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Obtener la segunda derivada.

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Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Reescribe $\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}})$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}})$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 x - 7$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 7$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 7$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combina fracciones.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combina ${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Mueve ${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2 (2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + 0)$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Suma $3$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 3$

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Combina $- 3$ y $\frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 \cdot 3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$