Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 1

Escribe $y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} [5]$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Suma $3 x^{2} - 14 x - 5$ y $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 14 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

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Como $- 14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 14 x$ con respecto a $x$ es $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Multiplica $- 14$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Suma $6 x - 14$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Step 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Step 5

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} (5)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Suma $3 x^{2} - 14 x - 5$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 14 x - 5$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ y cuya suma es $b = - 14$ .

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Factoriza $- 14$ de $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Reescribe $- 14$ como $1$ más $- 15$

$3 x^{2} + (1 - 15) x - 5 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5 = 0$

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x^{2} + x - 15 x - 5 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + x) - 15 x - 5 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 5) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Step 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{1}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (- \frac{1}{3}) - 14$

Step 10

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$6 (\frac{- 1}{3}) - 14$

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- 1}{3} - 14$

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{- 1}{3} - 14$

Reescribe la expresión.

$2 \cdot - 1 - 14$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 14$

Resta $14$ de $- 2$ .

$- 16$

Step 11

$x = - \frac{1}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{1}{3}$ es un máximo local

Step 12

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{1}{3}$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- \frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Multiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (\frac{1}{9}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Combina $- 7$ y $\frac{1}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} + \frac{- 7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Multiplica $- 5 (- \frac{1}{3})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + 5 (\frac{1}{3}) + 5$

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 5$

Obtén el denominador común

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Multiplica $\frac{7}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - (\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{5}{3} + 5$

Multiplica $\frac{7}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} + 5$

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Escribe $5$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 7 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $- 7$ por $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Multiplica $5$ por $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 5 \cdot 27}{27}$

Multiplica $5$ por $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 135}{27}$

Simplifica mediante suma y resta.

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Resta $21$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 22 + 45 + 135}{27}$

Suma $- 22$ y $45$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{23 + 135}{27}$

Suma $23$ y $135$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{158}{27}$

La respuesta final es $\frac{158}{27}$ .

$y = \frac{158}{27}$

Step 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (5) - 14$

Step 14

Evalúa la segunda derivada.

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Multiplica $6$ por $5$ .

$30 - 14$

Resta $14$ de $30$ .

$16$

Step 15

$x = 5$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 5$ es un mínimo local

Step 16

Obtén el valor de y cuando $x = 5$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (5) = 125 - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = 125 - 7 \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 5$

Multiplica $- 7$ por $25$ .

$f (5) = 125 - 175 - 5 \cdot 5 + 5$

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (5) = 125 - 175 - 25 + 5$

Simplifica mediante suma y resta.

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Resta $175$ de $125$ .

$f (5) = - 50 - 25 + 5$

Resta $25$ de $- 50$ .

$f (5) = - 75 + 5$

Suma $- 75$ y $5$ .

$f (5) = - 70$

La respuesta final es $- 70$ .

$y = - 70$

Step 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ .

$(- \frac{1}{3}, \frac{158}{27})$ es un máximo local

$(5, - 70)$ es un mínimo local

Step 18