Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4}$

Step 1

Obtener la segunda derivada.

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Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Obtener la segunda derivada.

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Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Step 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} = 0$ .

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Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Divide cada término en $12 x^{2} = 0$ por $12$ y simplifica.

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Divide cada término en $12 x^{2} = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $12$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $12$ .

$x^{2} = 0$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Step 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Sustituye $0$ en $f (x) = x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4}$

Simplifica el resultado.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0$

La respuesta final es $0$ .

$0$

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Step 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Simplifica el resultado.

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Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

La respuesta final es $0.12$ .

$0.12$

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.12$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

Simplifica el resultado.

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Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

La respuesta final es $0.12$ .

$0.12$

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.12$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Step 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. No hay puntos en la gráfica que satisfagan estos requisitos.

No hay puntos de inflexión