Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$

Step 1

Escribe $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$

Step 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1$

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + 0$

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2$

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Step 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x - 2 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 2$

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Divide $2$ por $2$ .

$x = 1$

Step 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye $1$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 8 \cdot 1$

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 8$

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} - 8$

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8$

Escribe $- 8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 3 - 24}{3}$

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Resta $3$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 2 - 24}{3}$

Resta $24$ de $- 2$ .

$f (1) = \frac{- 26}{3}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (1) = - \frac{26}{3}$

La respuesta final es $- \frac{26}{3}$ .

$- \frac{26}{3}$

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ es $(1, - \frac{26}{3})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, - \frac{26}{3})$

Step 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $0.9$ en la expresión.

$f'' (0.9) = 2 (0.9) - 2$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $0.9$ .

$f'' (0.9) = 1.8 - 2$

Resta $2$ de $1.8$ .

$f'' (0.9) = - 0.2$

La respuesta final es $- 0.2$ .

$- 0.2$

En $0.9$ , la segunda derivada es $- 0.2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = 2 (1.1) - 2$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $1.1$ .

$f'' (1.1) = 2.2 - 2$

Resta $2$ de $2.2$ .

$f'' (1.1) = 0.2$

La respuesta final es $0.2$ .

$0.2$

En $1.1$ , la segunda derivada es $0.2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Step 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(1, - \frac{26}{3})$ .

$(1, - \frac{26}{3})$

Step 9