Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y^{2} - 1}$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\sqrt{y^{2} - 1} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 1} = x$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = x^{2}$

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{2} - 1}$ como ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Reescribe la expresión.

${(y^{2} - 1)}^{1} = x^{2}$

Simplifica.

$y^{2} - 1 = x^{2}$

Resuelve $y$

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = x^{2} + 1$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

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El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

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El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

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Obtén el dominio de $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 1 \geq 0$

Resuelve $x$

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Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq - 1$

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

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La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ no es igual al rango de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ no es una inversa de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

No hay una inversa

Step 5