Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

Obtén la primera derivada.

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La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

Obtener la segunda derivada.

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Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Simplifica la expresión.

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Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Simplifica.

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Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Combina los términos.

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Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Combina $x$ y $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$