Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{7} 4^{n - 1}$

Step 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Step 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{4^{n + 1 - 1}}{4^{n - 1}}$

Simplifica.

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Cancela el factor común de $4^{n + 1 - 1}$ y $4^{n - 1}$ .

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Factoriza $4^{n - 1}$ de $4^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1}}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1} \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1} \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{4^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Divide $4^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = 4^{n + 0 - (n - 1)}$

Suma $n$ y $0$ .

$r = 4^{n - (n - 1)}$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$r = 4^{n - n - - 1}$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = 4^{n - n + 1}$

Resta $n$ de $n$ .

$r = 4^{0 + 1}$

Suma $0$ y $1$ .

$r = 4^{1}$

Evalúa el exponente.

$r = 4$

Step 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Sustituye $1$ por $n$ en $4^{n - 1}$ .

$a = 4^{1 - 1}$

Simplifica.

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Resta $1$ de $1$ .

$a = 4^{0}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 1$

Step 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$1 \frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$

Step 5

Simplifica.

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Multiplica $\frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$ por $1$ .

$\frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$

Simplifica el numerador.

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Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 16384}{1 - 1 \cdot 4}$

Multiplica $- 1$ por $16384$ .

$\frac{1 - 16384}{1 - 1 \cdot 4}$

Resta $16384$ de $1$ .

$\frac{- 16383}{1 - 1 \cdot 4}$

Simplifica el denominador.

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Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 16383}{1 - 4}$

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{- 16383}{- 3}$

Divide $- 16383$ por $- 3$ .

$5461$