Cálculo Ejemplos

$1 - 2 \sin (x)$

Step 1

Escribe $1 - 2 \sin (x)$ como una función.

$f (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Step 2

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Resta $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x)$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Step 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 \cos (x) = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Divide cada término en $- 2 \cos (x) = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 \cos (x) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Step 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 2 \cos (x)$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 1 - 2 \sin (x)$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + π n - 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

La respuesta final es $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Simplifica.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

En $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ la derivada es $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ desde $f' (x) < 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + π n + 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

La respuesta final es $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Simplifica.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

En $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ la derivada es $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Step 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 9