Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 1

Escribe $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Step 4

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Step 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Step 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Step 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Step 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ .

$F (x) =$ $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$