Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)}$

Step 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Evalúa el límite del numerador.

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Evalúa el límite.

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Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{\tan (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\tan (8 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Simplifica la respuesta.

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Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Evalúa el límite del denominador.

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Evalúa el límite.

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Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Simplifica la respuesta.

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Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Step 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Step 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \tan (t)$ y $g (t) = 8 t$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8 t$ con respecto a $t$ es $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Multiplica $8$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \cdot 8}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Mueve $8$ a la izquierda de $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \cdot \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Multiplica $8$ por $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

Multiplica $2$ por $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cos (2 t)}$

Step 4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Factoriza $2$ de $8 \sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $2 \cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 (\cos (2 t))}$

Cancela el factor común.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 7

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (8 t)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (8 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 9

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Step 11

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Step 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Step 13

Simplifica la respuesta.

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Simplifica el numerador.

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Multiplica $8$ por $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Simplifica el denominador.

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Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{1}{\cos (0)}$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$4 (\frac{1}{1})$

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 1$

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$