Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin^{3} (x)$

Step 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Step 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x))$

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin^{2} (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Mueve $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Reescribe $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot (\cos (x) \sin (x)) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Reordena los términos.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Step 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$