Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (2 t)$

Step 1

Sea $u_{1} = 2 t$ . Entonces $d u_{1} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Deja $u_{1} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Combina $\sin^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

Simplifica.

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

Simplifica.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

Step 16

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

Combina $\sin (4 t)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Factoriza $2$ de $2 t$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Combina $\frac{1}{2}$ y $t$ .

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Multiplica $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2})$ .

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Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sin (4 t)}{2}$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

Step 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$