Cálculo Ejemplos

$\sum_{0}^{8} 8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$

Step 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Step 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Cancela el factor común de ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ y ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ de ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{- \frac{2}{3}}{1}$

Divide $- \frac{2}{3}$ por $1$ .

$r = - \frac{2}{3}$

Step 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Sustituye $0$ por $i$ en $8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$ .

$a = 8 {(- \frac{2}{3})}^{0}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$a = 8 ({(- 1)}^{0} {(\frac{2}{3})}^{0})$

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 8 ({(- 1)}^{0} \frac{2^{0}}{3^{0}})$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 8 (1 \frac{2^{0}}{3^{0}})$

Multiplica $\frac{2^{0}}{3^{0}}$ por $1$ .

$a = 8 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 8 \frac{1}{3^{0}}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 8 (\frac{1}{1})$

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$a = 8 (\frac{1}{1})$

Reescribe la expresión.

$a = 8 \cdot 1$

Multiplica $8$ por $1$ .

$a = 8$

Step 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$8 \frac{1 - {(- \frac{2}{3})}^{9}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Step 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{2}{3})}^{9})}{1 - - \frac{2}{3}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{2^{9}}{3^{9}})}{1 - - \frac{2}{3}}$

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{9}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Mueve ${(- 1)}^{9}$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Multiplica ${(- 1)}^{9}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Suma $9$ y $1$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $10$ .

$8 \frac{1 + 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Multiplica $\frac{2^{9}}{3^{9}}$ por $1$ .

$8 \frac{1 + \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Eleva $2$ a la potencia de $9$ .

$8 \frac{1 + \frac{512}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Eleva $3$ a la potencia de $9$ .

$8 \frac{1 + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 \frac{\frac{19683}{19683} + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{\frac{19683 + 512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Suma $19683$ y $512$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- - \frac{2}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + 1 (\frac{2}{3})}$

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + \frac{2}{3}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3 + 2}{3}}$

Suma $3$ y $2$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{5}{3}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$8 (\frac{20195}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $5$ de $20195$ .

$8 (\frac{5 (4039)}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Cancela el factor común.

$8 (\frac{5 \cdot 4039}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{4039}{19683} \cdot 3)$

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $19683$ .

$8 (\frac{4039}{3 (6561)} \cdot 3)$

Cancela el factor común.

$8 (\frac{4039}{3 \cdot 6561} \cdot 3)$

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{4039}{6561})$

Multiplica $8 (\frac{4039}{6561})$ .

Toca para ver más pasos...

Combina $8$ y $\frac{4039}{6561}$ .

$\frac{8 \cdot 4039}{6561}$

Multiplica $8$ por $4039$ .

$\frac{32312}{6561}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{32312}{6561}$

Forma decimal:

$4.92485901 \dots$

Forma de número mixto:

$4 \frac{6068}{6561}$