Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{5} 2^{n - 2}$

Step 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Step 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{n + 1 - 2}}{2^{n - 2}}$

Simplifica.

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Cancela el factor común de $2^{n + 1 - 2}$ y $2^{n - 2}$ .

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Factoriza $2^{n - 2}$ de $2^{n + 1 - 2}$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2}}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2^{n - 1 - (n - 2)}}{1}$

Divide $2^{n - 1 - (n - 2)}$ por $1$ .

$r = 2^{n - 1 - (n - 2)}$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$r = 2^{n - 1 - n - - 2}$

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$r = 2^{n - 1 - n + 2}$

Combina los términos opuestos en $n - 1 - n + 2$ .

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Resta $n$ de $n$ .

$r = 2^{0 - 1 + 2}$

Resta $1$ de $0$ .

$r = 2^{- 1 + 2}$

Suma $- 1$ y $2$ .

$r = 2^{1}$

Evalúa el exponente.

$r = 2$

Step 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Sustituye $1$ por $n$ en $2^{n - 2}$ .

$a = 2^{1 - 2}$

Simplifica.

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Resta $2$ de $1$ .

$a = 2^{- 1}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = \frac{1}{2}$

Step 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{5}}{1 - 1 \cdot 2}$

Step 5

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Resta $32$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 1 \cdot 2}$

Simplifica el denominador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 2}$

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{- 1}$

Divide $- 31$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 31$

Combina $\frac{1}{2}$ y $31$ .

$\frac{31}{2}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{31}{2}$

Forma decimal:

$15.5$

Forma de número mixto:

$15 \frac{1}{2}$