Cálculo Ejemplos

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 1

Escribe $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ como una función.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 2

Obtener la segunda derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Evalúa $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = 2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Reordena los términos.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Obtener la segunda derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Como $- 2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = \cos (θ)$ y $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Como $- 2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 2 \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

La segunda derivada de $f (θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Step 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$ .

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Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Sustituye $\frac{π}{3}$ en $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ para obtener el valor de $y$ .

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Reemplaza la variable $θ$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Simplifica la expresión.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Suma $4$ y $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{3}$ en $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ es $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $θ$ con $0.94719755$ en la expresión.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

La respuesta final es $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

En $0.94719755$ , la segunda derivada es $- 0.53195951$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π}{3})$ desde $f'' (θ) < 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $θ$ con $1.14719755$ en la expresión.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

La respuesta final es $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

En $1.14719755$ , la segunda derivada es $0.50208433$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{π}{3}, \infty)$ ya que $f'' (θ) > 0$

Step 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 9