Cálculo Ejemplos

$\cos^{3} (2 x)$

Step 1

Escribe $\cos^{3} (2 x)$ como una función.

$f (x) = \cos^{3} (2 x)$

Step 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \cos^{3} (2 x) d x$

Step 4

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 5

Combina $\cos^{3} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Factoriza $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 9

Sea $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Deja $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Diferencia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 13

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Step 14

Simplifica.

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Step 16

Simplifica.

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Combina $\sin^{3} (2 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3})$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

Step 18

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$