Cálculo Ejemplos

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

Escribe $x^{2} \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

Obtener la segunda derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencia con la regla de la potencia.

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Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Cancela los factores comunes.

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Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Divide $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Obtener la segunda derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \ln (x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Cancela el factor común de $x$ .

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Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Combina los términos.

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Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

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Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \ln (x) = - 3$

Divide cada término en $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Reescribe $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Sustituye $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ en $f (x) = x^{2} \ln (x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Simplifica el resultado.

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Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Mueve $e^{\frac{3}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Expande $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{3}{2}$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Multiplica $\frac{1}{e^{3}}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

La respuesta final es $- \frac{3}{2 e^{3}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ en $f (x) = x^{2} \ln (x)$ es $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $0.12313016$ en la expresión.

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Simplifica $2 \ln (0.12313016)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

Eleva $0.12313016$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

La respuesta final es $\ln (0.01516103) + 3$ .

$\ln (0.01516103) + 3$

En $0.12313016$ , la segunda derivada es $- 1.18902654$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ desde $f'' (x) < 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $0.32313016$ en la expresión.

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Simplifica $2 \ln (0.32313016)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

Eleva $0.32313016$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

La respuesta final es $\ln (0.1044131) + 3$ .

$\ln (0.1044131) + 3$

En $0.32313016$ , la segunda derivada es $0.74059987$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Step 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9