Cálculo Ejemplos

${(\tan^{-1} (8 x))}^{2}$

Step 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan^{-1} (8 x)$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan^{-1} (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan^{-1} (8 x)$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Step 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan^{-1} (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan^{-1} (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

La derivada de $\tan^{-1} (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Step 3

Diferencia.

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Factoriza $8$ de $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Simplifica la expresión.

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Aplica la regla del producto a $8 (x)$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Combina $8$ y $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1)$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ por $1$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{1 + 64 x^{2}}$

Reordena los términos.

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{64 x^{2} + 1}$

Step 4

Combina los términos.

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Combina $\frac{8}{64 x^{2} + 1}$ y $2$ .

$\frac{8 \cdot 2}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{16}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

Combina $\frac{16}{64 x^{2} + 1}$ y $\tan^{-1} (8 x)$ .

$\frac{16 \tan^{-1} (8 x)}{64 x^{2} + 1}$