Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ , $(6, 0)$

Step 1

Escribe $\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ como una ecuación.

$y = \ln (x^{2} - 6 x + 1)$

Step 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 6$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 6 x + 1$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + 0)$

Suma $2 x - 6$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$

Simplifica.

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Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$

Multiplica $2 x - 6$ por $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Factoriza $2$ de $2 x - 6$ .

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Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 3}{x^{2} - 6 x + 1}$

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x - 3)}{x^{2} - 6 x + 1}$

Evalúa la derivada en $x = 6$ .

$\frac{2 ((6) - 3)}{{(6)}^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Simplifica.

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Resta $3$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{6^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Simplifica el denominador.

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Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 6 \cdot 6 + 1}$

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 36 + 1}$

Resta $36$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 3}{0 + 1}$

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1}$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{1}$

Divide $6$ por $1$ .

$6$

Step 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Usa la pendiente $6$ y un punto dado $(6, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (6))$

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 6)$

Resuelve $y$

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Suma $y$ y $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 6)$

Simplifica $6 \cdot (x - 6)$ .

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Aplica la propiedad distributiva.

$y = 6 x + 6 \cdot - 6$

Multiplica $6$ por $- 6$ .

$y = 6 x - 36$

Step 4