Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Obtener la segunda derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Diferencia.

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Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Obtener la segunda derivada.

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Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Diferencia.

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Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Combina fracciones.

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

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Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Establece el numerador igual a cero.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Reescribe la expresión.

$x = 2 (π - 0)$

Simplifica el lado derecho.

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Resta $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

El período de la función $\sin (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 3

El punto que se obtiene mediante la sustitución de en $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ es $(,)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(,)$

Step 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty,)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica el numerador.

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Divide $- 0.1$ por $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Evalúa $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Simplifica la expresión.

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Divide $- 0.04997916$ por $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Multiplica $- 1$ por $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

La respuesta final es $0.01249479$ .

$0.01249479$

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.01249479$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty,)$ .

Incremento en $(- \infty,)$ ya que $f'' (x) > 0$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica el numerador.

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Divide $0.1$ por $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Evalúa $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Simplifica la expresión.

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Divide $0.04997916$ por $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Multiplica $- 1$ por $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

La respuesta final es $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 0.01249479$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(, \infty)$ .

Decrecimiento en $(, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Step 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(,)$ .

$(,)$

Step 8