Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 24 u + 108 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.2

Factoriza $u^{2} - 24 u + 108$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $108$ y cuya suma es $- 24$ .

$- 18, - 6$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 18) (u - 6) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 18 = 0$

$u - 6 = 0$

Paso 2.4

Establece $u - 18$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.4.1

Establece $u - 18$ igual a $0$ .

$u - 18 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 18$

Paso 2.5

Establece $u - 6$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.5.1

Establece $u - 6$ igual a $0$ .

$u - 6 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 6$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 18) (u - 6) = 0$ verdadera.

$u = 18, 6$

Paso 2.7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 18$

${(x^{2})}^{1} = 6$

Paso 2.8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 18$

Paso 2.9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Paso 2.9.2

Simplifica $\pm \sqrt{18}$ .

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Paso 2.9.2.1

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.9.2.1.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Paso 2.9.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Paso 2.9.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Paso 2.9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 \sqrt{2}$

Paso 2.9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Paso 2.9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Paso 2.10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 6$

Paso 2.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 6$

Paso 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Paso 2.11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.11.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6}$

Paso 2.11.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6}$

Paso 2.11.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 2.12

La solución a $x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$ es $x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty), {x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Rango: $(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty), {y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Paso 6