Cálculo Ejemplos

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \cdot \ln (x)} d x$

Step 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Simplifica.

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Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2$

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1 u_{upper} = 2$

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Step 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Step 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $2$ y en $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Step 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Step 5

Simplifica.

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El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (2)$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (2)$

Forma decimal:

$0.69314718 \dots$