Cálculo Ejemplos

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = \sec^{2} (9 t)$ .

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

Simplifica.

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Combina $\frac{1}{9}$ y $\tan (9 t)$ .

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Combina $t$ y $\frac{\tan (9 t)}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

Sea $u = 9 t$ . Entonces $d u = 9 d t$ , de modo que $\frac{1}{9} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Deja $u = 9 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Diferencia $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9 t$ con respecto a $t$ es $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Multiplica $9$ por $1$ .

$9$

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

Combina $\tan (u)$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

Simplifica.

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Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

Reescribe $\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ como $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 t$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$