Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Step 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 2 π$

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Step 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Step 4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Step 5

Evalúa $\sin (u)$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Step 6

Simplifica.

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El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Suma $\sin (2 π)$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 π)$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 π)$ .

$\frac{\sin (2 π)}{2}$

Step 7

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\sin (0)}{2}$

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{2}$

Divide $0$ por $2$ .

$0$