Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Multiplica $2$ por $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 52$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 52$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Suma $- 3 x^{2} + 18 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Obtener la segunda derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 18 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

Multiplica $18$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 x + 18$ .

$- 6 x + 18$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 6 x + 18 = 0$ .

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Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 6 x + 18 = 0$

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 x = - 18$

Divide cada término en $- 6 x = - 18$ por $- 6$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 6 x = - 18$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 6$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $- 18$ por $- 6$ .

$x = 3$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Sustituye $3$ en $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ para obtener el valor de $y$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 52$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 52$

Multiplica $9$ por $9$ .

$f (3) = - 27 + 81 - 52$

Simplifica mediante suma y resta.

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Suma $- 27$ y $81$ .

$f (3) = 54 - 52$

Resta $52$ de $54$ .

$f (3) = 2$

La respuesta final es $2$ .

$2$

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $3$ en $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ es $(3, 2)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(3, 2)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $2.9$ en la expresión.

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

Simplifica el resultado.

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Multiplica $- 6$ por $2.9$ .

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

Suma $- 17.4$ y $18$ .

$f'' (2.9) = 0.6$

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

En $2.9$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 3)$ .

Incremento en $(- \infty, 3)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $3.1$ en la expresión.

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

Simplifica el resultado.

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Multiplica $- 6$ por $3.1$ .

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

Suma $- 18.6$ y $18$ .

$f'' (3.1) = - 0.6$

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

En $3.1$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(3, \infty)$ .

Decrecimiento en $(3, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(3, 2)$ .

$(3, 2)$

Paso 8