Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

Obtén la primera derivada.

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Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Multiplica $3$ por $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Factoriza $6 x^{2}$ de $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

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Factoriza $6 x^{2}$ de $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Factoriza $6 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{3}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 2.5$ en la expresión.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 2.5$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Multiplica $12$ por $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Eleva $- 2.5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

Multiplica $18$ por $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

Suma $- 187.5$ y $112.5$ .

$f' (- 2.5) = - 75$

La respuesta final es $- 75$ .

$- 75$

En $x = - 2.5$ la derivada es $- 75$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{3}{2})$ desde $f' (x) < 0$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.5, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 0.75$ en la expresión.

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 0.75$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Multiplica $12$ por $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Eleva $- 0.75$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

Multiplica $18$ por $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

Suma $- 5.0625$ y $10.125$ .

$f' (- 0.75) = 5.0625$

La respuesta final es $5.0625$ .

$5.0625$

En $x = - 0.75$ la derivada es $5.0625$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1.5, 0)$ .

Incremento en $(- \frac{3}{2}, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Multiplica $12$ por $1$ .

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

Multiplica $18$ por $1$ .

$f' (1) = 12 + 18$

Suma $12$ y $18$ .

$f' (1) = 30$

La respuesta final es $30$ .

$30$

En $x = 1$ la derivada es $30$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Step 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Step 9