Cálculo Ejemplos

$\log_{a} (x)$

Step 1

Reescribe $\log_{a} (x)$ con el cambio de fórmula base.

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The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = e$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (x)}{\ln (a)}]$

Step 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Como $\ln (x)$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$ con respecto a $a$ es $\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

Reescribe $\frac{1}{\ln (a)}$ como $\ln^{- 1} (a)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Step 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ es $f' (g (a)) g' (a)$ donde $f (a) = a^{- 1}$ y $g (a) = \ln (a)$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (a)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\ln (x) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (a)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Step 4

La derivada de $\ln (a)$ con respecto a $a$ es $\frac{1}{a}$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Step 5

Combina fracciones.

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Combina $\frac{1}{a}$ y $\ln^{- 2} (a)$ .

$\ln (x) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

Mueve $\ln^{- 2} (a)$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ .

$- \frac{\ln (x)}{a \ln^{2} (a)}$