Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Simplifica.

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Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Suma $e^{x} (2 x)$ y $2 x e^{x}$ .

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Mueve $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Suma $2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Step 4

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Simplifica.

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Reordena los términos.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Factoriza $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

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Factoriza $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Factoriza $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Factoriza $x e^{x}$ de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

La solución final comprende todos los valores que hacen $x e^{x} (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Step 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Step 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 2$

Step 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Step 9

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Simplifica mediante la adición de números.

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Suma $0$ y $0$ .

$0 + 2$

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Step 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Step 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Simplifica el resultado.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Multiplica $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Step 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Step 13

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Combina $- 8$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Combina fracciones.

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Simplifica la expresión.

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Resta $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Suma $- 4$ y $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Step 14

$x = - 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 2$ es un máximo local

Step 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Simplifica el resultado.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

La respuesta final es $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Step 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ es un máximo local

Step 17