Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 1

Escribe $y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ como una función.

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x)$

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \cdot 1$

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12$

Step 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Step 5

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (2 x)$

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $12 x$ de $12 x^{3} - 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Factoriza $12 x$ de $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Factoriza $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Factoriza.

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Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Step 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Step 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 1, 1$

Step 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$36 {(0)}^{2} - 12$

Step 10

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$36 \cdot 0 - 12$

Multiplica $36$ por $0$ .

$0 - 12$

Resta $12$ de $0$ .

$- 12$

Step 11

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Step 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}$

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Step 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$36 {(- 1)}^{2} - 12$

Step 14

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$36 \cdot 1 - 12$

Multiplica $36$ por $1$ .

$36 - 12$

Resta $12$ de $36$ .

$24$

Step 15

$x = - 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1$ es un mínimo local

Step 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 {(- 1)}^{2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 3 - 6 \cdot 1$

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6$

Resta $6$ de $3$ .

$f (- 1) = - 3$

La respuesta final es $- 3$ .

$y = - 3$

Step 17

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$36 {(1)}^{2} - 12$

Step 18

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$36 \cdot 1 - 12$

Multiplica $36$ por $1$ .

$36 - 12$

Resta $12$ de $36$ .

$24$

Step 19

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Step 20

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2}$

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 6 {(1)}^{2}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 6$

Resta $6$ de $3$ .

$f (1) = - 3$

La respuesta final es $- 3$ .

$y = - 3$

Step 21

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ es un máximo local

$(- 1, - 3)$ es un mínimo local

$(1, - 3)$ es un mínimo local

Step 22