Cálculo Ejemplos

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Combina $\sec^{4} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Simplifica la expresión.

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Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Reescribe ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (u_{1})$ como $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

Sea $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Deja $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Diferencia $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

Simplifica.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

Simplifica.

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Combina $\frac{1}{3}$ y $\tan^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (2 x)$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Combinar.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\tan^{3} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$