Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Step 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Reescribe $x^{2 \ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

Expande $\ln (x^{2 \ln (x)})$ ; para ello, mueve $2 \ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Step 2

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Step 3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Step 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Step 5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Step 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 \ln^{2} (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Step 7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Step 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 9

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 10

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Step 11

Combina fracciones.

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Combina $\frac{1}{x}$ y $4$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

Combina $\frac{4}{x}$ y $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

Combina $e^{2 \ln^{2} (x)}$ y $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Step 12

Simplifica el numerador.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Multiplica $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Reordena $\ln (x)$ y $4$ .

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Simplifica $4 \cdot \ln (x)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Reordena los factores en $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$