Cálculo Ejemplos

$y = {(x + 4 \ln (x))}^{4}$

Step 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 4 \ln (x))}^{4})$

Step 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Step 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x + 4 \ln (x)$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4 \ln (x)$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{1}{x})$

Combina $4$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$