Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

Obtén la primera derivada.

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Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

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Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

Multiplica $2$ por $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 144 x$ .

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Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

Factoriza $4 x$ de $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Factoriza.

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Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

Multiplica $4$ por $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

Multiplica $- 144$ por $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

Suma $- 1372$ y $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

La respuesta final es $- 364$ .

$- 364$

En $x = - 7$ la derivada es $- 364$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 6)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 6)$ desde $f' (x) < 0$

Step 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 6, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

Multiplica $- 144$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

Suma $- 108$ y $432$ .

$f' (- 3) = 324$

La respuesta final es $324$ .

$324$

En $x = - 3$ la derivada es $324$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 6, 0)$ .

Incremento en $(- 6, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Step 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

Multiplica $4$ por $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

Multiplica $- 144$ por $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

Resta $432$ de $108$ .

$f' (3) = - 324$

La respuesta final es $- 324$ .

$- 324$

En $x = 3$ la derivada es $- 324$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 6)$ .

Decrecimiento en $(0, 6)$ desde $f' (x) < 0$

Step 8

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

Multiplica $4$ por $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

Multiplica $- 144$ por $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

Resta $1008$ de $1372$ .

$f' (7) = 364$

La respuesta final es $364$ .

$364$

En $x = 7$ la derivada es $364$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(6, \infty)$ .

Incremento en $(6, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Step 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 6, 0), (6, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10