Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\sin (x^{2})}$

Step 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sin (x^{2})}$ como ${\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Step 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sin (x^{2})$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Step 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Step 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Step 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Step 6

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Step 7

Combina fracciones.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\sin (x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Mueve ${\sin (x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Step 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Step 9

Diferencia con la regla de la potencia.

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Combina $\cos (x^{2})$ y $\frac{1}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x^{2})}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\cos (x^{2})}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Simplifica los términos.

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Combina $2$ y $\frac{\cos (x^{2})}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cos (x^{2})}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Combina $\frac{2 \cos (x^{2})}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 \cos (x^{2}) x}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x^{2}) x}{2 {\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x^{2}) x}{{\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Reordena los factores en $\cos (x^{2}) x$ .

$\frac{x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$