Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combina $\frac{5}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $5$ de $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Cancela el factor común.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Divide $- 1$ por $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Obtén la primera derivada.

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Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combina los términos.

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Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combina $\frac{5}{5}$ y $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Cancela el factor común de $5$ .

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Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $5$ de $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Cancela el factor común.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Divide $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{4} - 1 = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 1$

Calcula la raíz cuarta de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Step 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Step 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, - 1$

Step 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Evalúa la segunda derivada.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1$

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Step 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica el numerador.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Resta $5$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

La respuesta final es $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Evalúa la segunda derivada.

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Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot - 1$

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Step 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Suma $- 1$ y $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

La respuesta final es $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ es un mínimo local

$(- 1, \frac{4}{5})$ es un máximo local

Step 17