Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x^{2} + 1}$

Step 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Step 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Step 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Step 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Step 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Step 6

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Step 7

Combina fracciones.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Step 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Step 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Step 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Step 11

Simplifica los términos.

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Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$