Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 1 \\ - 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Step 1

Establece una matriz que esté desglosada en dos piezas del mismo tamaño. En el lado izquierdo, completa los elementos de la matriz original. En el lado derecho, completa los elementos de la matriz de identidades. Para obtener la matriz inversa, usa operaciones de fila para convertir el lado izquierdo en la matriz de identidades. Una vez completado esto, la inversa de la matriz original estará en el lado derecho de la matriz duplicada.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 2

Intercambia la fila $3$ y la fila $2$ para organizar los ceros en su posición.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

Step 3

Realiza la operación de fila $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (- 1) - 3 & (2) \cdot (- 1) + 0 & (2) \cdot (1) + 0 & (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 4

Realiza la operación de fila $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 5

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 - 1 & \frac{2}{5} - 1 & - \frac{2}{5} + 1 & 0 + 0 & - \frac{1}{5} + 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 6

Realiza la operación de fila $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ en $R_{3}$ (fila $3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación de la fila $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (\frac{2}{5}) - 1 & (2) \cdot (- \frac{2}{5}) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 & (2) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{5} & - \frac{4}{5} & 1 & - \frac{2}{5} \end{array}]$

Step 7

Realiza la operación de fila $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ en $R_{3}$ (fila $3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación de la fila $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) & (- 5) \cdot (- \frac{4}{5}) & (- 5) \cdot (1) & (- 5) \cdot (- \frac{2}{5}) \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 8

Realiza la operación de fila $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (1) - \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (4) + \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 9

Realiza la operación de fila $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{5}) \cdot (1) + \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (4) - \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 10

El lado recto de la matriz duplicada ahora es la inversa de la matriz original.

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 1 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 4 & - 5 & 2 \end{array}]$