Álgebra Ejemplos

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x^{2} - x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Suma $3 x^{2} + 2 x - 1$ y $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Suma $6 x + 2$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

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Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x^{2} - x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Suma $3 x^{2} + 2 x - 1$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 2 x - 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Factoriza $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Step 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

Evalúa la segunda derivada.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

Reescribe la expresión.

$2 + 2$

Suma $2$ y $2$ .

$4$

Step 10

$x = \frac{1}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{3}$ es un mínimo local

Step 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{3}$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

Obtén el denominador común

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Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $- 1$ por $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

Suma $1$ y $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

Resta $9$ de $4$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

Resta $27$ de $- 5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

La respuesta final es $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (- 1) + 2$

Step 13

Evalúa la segunda derivada.

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Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 + 2$

Suma $- 6$ y $2$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Step 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

Simplifica mediante suma y resta.

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Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

Suma $0$ y $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Resta $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0$

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Step 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ es un mínimo local

$(- 1, 0)$ es un máximo local

Step 17